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数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？下载方式:

①通过浏览器下载

打开“数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？”手机浏览器（例如百度浏览器）。在搜索框中输入您想要下载的应用的全名，点击下载链接【www.share.m.m.rongtongsh.com】网址，下载完成后点击“允许安装”。

②使用自带的软件商店

打开“数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？”的手机自带的“软件商店”（也叫应用商店）。在推荐中选择您想要下载的软件，或者使用搜索功能找到您需要的应用。点击“安装”即 可开始下载和安装。

③使用下载资源

有时您可以从“”其他人那里获取已经下载好的应用资源。使用类似百度网盘的工具下载资源。下载完成后，进行安全扫描以确保没有携带不 安全病毒，然后点击安装。

数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？安装步骤:

🦛🤽🏇第一步：🏀访问数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？官方网站或可靠的软件下载平台：访问（http://www.share.m.m.rongtongsh.com/）确保您从官方网站或者其他可信的软件下载网站获取软件，这可以避免下载到恶意软件。

🏌️🚴🐌第二步：💐选择软件版本：根据您的操作系统（如 Windows、Mac、Linux）选择合适的软件版本。有时候还需要根据系统的位数（32位或64位）来选择数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？。

🐋🛺🦁第三步：🐼 下载数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？软件：点击下载链接或按钮开始下载。根据您的浏览器设置，可能会询问您保存位置。

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🌰🦘🏂第五步：🦘启动软件：安装完成后，通常会在桌面或开始菜单创建软件快捷方式，点击即可启动使用数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？软件。

🎋🏋️🐮第六步：🏈更新和激活（如果需要）： 第一次启动数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？软件时，可能需要联网激活或注册。 检查是否有可用的软件更新，以确保使用的是最新版本，这有助于修复已知的错误和提高软件性能。

特别说明：数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？软件园提供的安装包中含有安卓模拟器和软件APK文件，电脑版需要先安装模拟器，然后再安装APK文件。

数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？使用讲解

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是魏无涯，看着天刑叹道：“不过我们这些星界上面还是有人管的。”

> 厂商新闻《数学家看到的世界和普通人到底有什么不同？》特朗普继续对日本施压：日本需要开放市场 时间：2025-11-17 07:18

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在这个瞬息万变的世界中，自主思考的能力必不可少。欧洲有“七艺”（Liberal Arts）的教育传统，Liberal 原指“自由”，即“永不为奴”的意思。也就是说，Liberal Arts 是一种让人自主掌握命运、成为自由之人的素养。不管是成为领导者之时，还是面临预想之外的问题之时，都必须锻炼自主思考解决问题的能力。在古罗马时期，“七艺”为逻辑、语法、修辞、音乐、天文，还有算术和几何。最开始的三项是为了磨炼“论证”的语言技术，我认为这三项排在前面，是因为它们是语言成形的必要条件，只有学会使用语言，才能获得思考的能力。

“七艺”之中的“算术”和“几何”都属于数学领域，我觉得很有趣。通常情况下，大家会认为语言领域的文学或外国语言文学属于文科，数学属于理科，但我认为数学是和语言学习一样的东西。数学可以精准地描述事物，这种描述能力超越了英语、日语等自然语言的表现能力。

所以如果理解数学，就能看到那些无形、不可见的东西，想出从未想到过的新创意。

——世界知名理论物理大家，大栗博司

本文经授权节选摘编自大栗博司：《用数学的语言看世界》（人民邮电出版社）。

撰文 | 大栗博司

辛普森审判

1994 年年在美国洛杉矶发生了欧·杰·辛普森谋杀案，知名橄榄球运动员辛普森的前妻妮科尔·布朗及其友人罗纳德·古德曼被发现死于高曼的寓所外，辛普森被怀疑是杀害两人的凶手。辛普森退役后以演员和喜剧演员的身份参加各类活动，并且深受人们喜爱。因此，这个案件在当时备受关注。来自美国各地的律师们组成了辛普森的辩护团，被人们称为“梦之队”。另一方面，检察院也召集了最精明能干的检察官。甚至电视上还直播了这场“世纪审判”的审判情况。

检察院提交了辛普森常年对布朗施暴的证据，试图用家庭暴力证明其有杀人嫌疑。然而，辩护团中的一名律师、哈佛大学法学院的艾伦·德肖维茨教授引用了美国联邦调查局的一个犯罪统计，即虐待妻子的2500 名丈夫中只有1 人杀害了自己的妻子，并且主张应该忽略家庭暴力这个证据。结果检察院无力反驳，最终无法让陪审员信服辛普森的施暴行为造成了杀人行为。但是，德肖维茨教授的主张纯属诡辩，完全可以用数学语言驳倒。

刑事审判追究的是有罪的“概率”。除非亲眼看见犯罪，否则就不能百分之百地断定有罪。检察院的工作就是要证明无罪的概率极小，法律术语叫作“排除合理怀疑，判定有罪”。至于多小的概率才能排除合理怀疑，这是一道数学无法判断的主观问题。法官和陪审员的职责正是对此作出判断。但是概率能用数字表达怀疑的程度，并通过这个数字来判断是否存在合理怀疑。这就是数学的力量。用概率来讲，德肖维茨教授的主张是有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率是1/2500，因为这个概率极小，所以作为证据并无意义。法官和陪审员在作判断时，必须将所有相关信息考虑在内。实际上，德肖维茨教授忽略了一个重要的信息，即“妮科尔·布朗已经被杀害了”。如果把这个条件加进去的话，概率计算会出现完全不同的结果。

辩护团的德肖维茨教授主张有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率为1/2500，因为这个数字太小，所以作为证据提交并没有意义。换言之，

但是，辛普森审判中最重要的问题是“有家庭暴力，而且妻子遇害时，丈夫杀害妻子的概率”。

据说在美国，已婚女性被丈夫以外的人杀害的概率为20 000 人中有1 个人。假设受到家庭暴力的妻子为100 000 人，其中有5 人遇害的原因与家庭暴力无关。另一方面，受到家庭暴力的妻子被丈夫杀害的概率为1/2500，即100 000 人有40 人被丈夫杀害。遇害的妻子总共为40 + 5 = 45 人，其中被丈夫杀害的妻子为40 人，所以受到家庭暴力的妻子被杀害时，丈夫是犯人的概率为

也就是说，只要能够证明辛普森有家庭暴力，他杀害布朗的概率为90%。提出这个概率的话，想必就不能“排除合理怀疑”了。所以，显然这是一个重要的证据。90% 的概率也足以用来反驳德肖维茨教授的主张。这就是数学的力量。

事件发生时凶手所使用的黑色皮手套最终决定了审判结果。在辛普森家中发现的手套中沾有两人血液以及布朗的金色发丝，同时还检验出了辛普森的DNA。检察院提交了作为证物的手套，但是他们致命的失败在于要求辛普森戴上手套。因为沾有血迹的皮手套收缩了一些，所以辛普森的大手难以戴上。而且，后来媒体曝光出发现这个皮手套的警官是一名种族歧视者，辩护团主张这位警官有可能捏造证据诬陷黑人辛普森。由于警方草率管理证据遭到曝光，持有合理怀疑的陪审员们讨论后一致决定辛普森无罪。虽然数学起了一定的作用，但是仅靠数学也不一定能赢得审判。

纯粹数学的精华

数学家弗兰克·纳尔逊·柯尔出生于1861 年，曾在哥伦比亚大学执教并担任美国数学学会的秘书官长达25 年。退休时，他用收集的捐赠款设立了“柯尔奖”，这也是现在数学界最具权威性的奖项之一。1903 年10 月31 日，柯尔在纽约召开的美国数学学会总会上发表了题为“关于大数字的因数分解”的演讲。柯尔用粉笔在会场大黑板的左边写下了“2<67>”，接着计算2 的67 次方，用2的67方减去1（下面用代表n次方），得到

2<67> − 1 = 147 573 952 589 676 412 927

然后又挪到黑板的右边，写下

193 707 721 × 761 838 257 287

在此期间，他一言不发，通过笔算计算出上述乘法运算的结果：

193 707 721 × 761 838 257 287 = 147 573 952 589 676 412 927

经过确认之后，与左边的2<67> − 1 用等号连接起来。柯尔依旧沉默着放下粉笔，走回座位。原本鸦雀无声的会场里响起了雷鸣般的掌声。

柯尔在黑板上写的数属于梅森数中的一个。17 世纪的法国数学家马林·梅森对

2 − 1

做了大量的计算，推断出在小于257 的自然数n 中，当n = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 时2 − 1 是素数。素数指的是除了1 和它本身外，不能被其他自然数整除的数。例如n = 2、3、5、7 时，2 − 1 = 3、7、31、127，这些数确实都属于素数。

法国数学家爱德华·卢卡斯通过历时19 年的笔算，终于在1876年证实了2<127> − 1 是素数。这是当时发现的数值最大的素数。直到20世纪中期，人们在计算器的帮助下才发现了更大的素数，在那之前这个记录一直没被打破。卢卡斯证实了梅森所推断的n = 127 时，2 − 1是素数，同年他还证明了2<67> − 1 不是素数。既然不是素数，那么说明2<67> − 1 可以表示为多个数的乘积。不过，卢卡斯所使用的证明方法无法推出这个数是哪些数的乘积。柯尔证明了这个数是193 707 721 和761 838 257 287 的乘积。据说他坚持在每个周日的下午认真计算，最终花了3 年时间终于找到这个分解方法。

梅森的想法虽然并不准确，不过2 − 1 中还包含了许多他没发现的素数，这些素数被称作“梅森素数”。截至2014 年，已被发现的最大的素数2<57885161> − 1 也是梅森素数。

研究整数性质的“数论”是纯粹数学中的一个特殊存在。例如被誉为人类历史上最伟大的数学家之一的高斯曾经说过：“数学是科学的女王, 而数论是数学的女王。”另外，19 世纪德国数学界的代表性人物利奥波德·克罗内克也有一句名言：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”

无限世界

1976 年，美国的摇滚乐队“老鹰乐队”发行了一张专辑《加州旅馆》（Hotel California）。这张专辑的主打歌是将南加州一家虚构的旅馆作为故事的发生地。主人公在沙漠公路上驾驶，感觉疲劳的他走进了一家旅馆。旅馆门口的女服务员带他穿过走廊时，里面传来了说话声。

欢迎来到加州旅馆！加州旅馆拥有无穷间客房。您随时都可以入住。

经理（以下称为“经”）：欢迎来到加州旅馆！我是经理戴维·希尔伯特。本旅馆随时都有空房，因为我们拥有无穷间客房。您看走廊的前方，每间客房都标有房号，1、2、3 · · · 永远不会停止。您看起来很疲惫！我马上让客房部主管为您准备房间。

客房部主管（以下称为“主”）：经理，请您不要再轻易许诺说有多余房间了。今天客房已满，无法为客人办理入住。

经：你不用担心，把室内广播的话筒递给我。（拿起话筒）“不好意思打扰各位休息了。请1 号房的客人搬到2 号房，2号房的客人搬到3 号房”。

主：1 号房就变成空房了。

经：那么，就请这位客人入住1 号房。加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主：驶来了一辆旅游大巴，车身贴着“自然数旅行团”的标签。

经：你数一下来了多少客人。

主：1、2、3 · · ·，怎么也数不完。貌似所有自然数都来了，总共有无穷位客人。而且客房已满，如果只来1 位或2 位还可以想想办法。现在来了无穷位客人，客房肯定不够了。

经：你不用担心。又到了室内广播的时间，“不好意思打扰各位休息了。现在麻烦各位搬到偶数房间。请1 号房的客人搬到2 号房，2 号房的客人搬到4 号房。3 号房的客人搬到6 号房。”

主：1 号房、3 号房、5 号房· · · 等奇数房间全部空出来了。

经：请大巴上的客人按顺序入住。第一位客人入住1 号房、第2 为客人入住3 号房、第n 位客人入住(2n − 1) 号房。这样一来，就能帮乘坐大巴的所有自然数客人安排房间。加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主：经理，又来了好几辆自然数旅游大巴。

经：你先数好大巴数。

主：1、2、3 · · · 怎么也数不完。貌似来了无穷辆大巴。而且，每辆大巴内都坐着无穷位客人。客房肯定不够了。

经：你不用担心。按照到达旅馆的先后顺序给旅游大巴编号，1、2、3 · · · 再播放与刚才相同的广播内容。

主：和刚才一样，奇数房间都空出来了。但是，也只够一辆旅游大巴的客人入住。

经：你不用担心。旅游大巴里的客人都有2 个号码，一个是自己乘坐的大巴编号，一个是自己在大巴里的座号。例如，如果是3 号大巴的第5 名乘客，就记作(3, 5)。

主：不过经理，1 号大巴的客人全部入住后，客房就全满了。

经：像你这样安排的话当然会住不下。首先，请客人们按我说的排队。

主：麻烦客人们排一下队伍。请2 号大巴的客人后退一步，3 号大巴的客人后退2 步。

经：对了，等客人们排好队后，给他们发放新的号码牌。

主：请按从前到后，从左到右的顺序传递号码牌。

经：这样一来，每位客人都能拿到号码牌。然后我们只要按照新的号码牌安排房间即可。刚才已经请之前入住的客人都搬到偶数房间，所以现在奇数房间都空出来了。那么，请[1] 号客人入住1 号房，[2] 号客人入住3 号房，[n] 号客人入住(2n − 1) 号房。

主：即使来了无穷多辆大巴的客人，也能完美地安排他们入住。

经：加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主：又来了一辆大巴，是有理数旅游团。

经：你不用担心。加州旅馆随时都有房间。

主：这次来的客人是分数。

经：所有的分数都来了吗？

主：是的。仅1 和2 之间的分数就是无穷个，看起来比旅馆的房间还要多，能住得下吗？

经：你不用担心。刚才拿着大巴编号和座位编号2 个数字的客人都已经顺利入住了。

主：是的，给这些客人发放了新的号码牌，例如(1, 2) 换成[2]，(2, 3) 换成[8]，然后让他们按照新号码牌先后办理了入住。

经：只要把分数看成2 的数对就好了。例如客人1/2 就是(1, 2)，给他发放[2] 号，客人2/3 就是(2, 3)，换成[8]号。然后按照刚才的方法安排他们入住。

主：不过1/2 = 2/4，客人1/2 拿到的是[2] 号，而客人2/4 拿到的却是[8] 号。说起来，1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10 =· · ·，所以重复的客人太多了。

经：那就把重复的房间空出来。

主：这家旅馆太厉害了。分数的客人全部成功入住，而且还有空房。

经：时间不早了，我先去休息了。剩下的就交给你处理了。

主：（原来如此！不管来多少客人，只要给他们分配号码牌就可以了。如果我能处理好，经理一定会对我刮目相看。客人们快点来吧！）

导游（以下称为“导”）：这么晚还来打搅你们，真是不好意思。我是实数旅行团的导游。

。

。

。

【注】这段对话是1924 年希尔伯特在哥廷根大学讲课时，为说明有限集合和无限集合的区别而使用的例子，被叫作“希尔伯特旅馆”。

虽然说这是世界知名理论物理学家大栗博司先生写给女儿的数学启蒙书，我读了读竟然发现，它极其适合分享给每一位想了解数学的读者。根据上面分享的内容，你应该能体会这本书有多棒了！

这本书趣味性、知识性兼备。书中以用“数学语言”解读自然为线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”、用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。

《用数学的语言看世界（修订版）》

作者：大栗博司

加州理工学院理论物理研究所所长、东京大学Kavli 数学物理联合宇宙研究机构研究主任大栗博司赠给女儿的“私房”数学科普读本。

全书以用“数学语言”解读自然为线索，用生动故事和比喻重新讲解了数学的核心原理与体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”的思维方式，是数学入门，重新理解数学的科普佳作。

注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。

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